De Mets Armand

De Mets Armand
1 / 25
0
0
1059 days ago, 162 views
PowerPoint PPT Presentation

Presentation Transcript

Slide 1

De Mets Armand

Slide 2

Info WISKUNDE – LEERPLAN A DERDE GRAAD ASO STUDIERICHTINGEN MET COMPONENT WISKUNDE LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS LICAP – BRUSSEL D/2004/0279/019 September 2004 (vervangt D/1992/0279/022) ISBN-nummer: 90-6858-380-8 Vlaams Verbond van het Katholiek Secundair Onderwijs Guimardstraat 1, 1040 Brussel Voor studierichtingen met zes wekelijkse lestijden wiskunde. Economie-wiskunde Grieks-wiskunde Latijn-wiskunde Moderne talen-wiskunde Wetenschappen-wiskunde AN38: Het verband leggen tussen het begrip bepaalde integraal en de oppervlakte tussen de grafiek van een functie en de horizontale as. De Mets Armand

Slide 3

Inhoud van de les Eenvoudige oppervlakten Belang van oppervlakten Eigenlijke vraagstelling (toegepast operation y =x 2 en [0,3]) Een eerste benadering voor bepalen van oppervlakte Principe berekenen van bovensom en ondersom Een betere benadering voor bepalen van oppervlakte De beste benadering, oneindig veel deelintervallen Toegepast operation y =x 2 en [0,4] Notie van bepaalde integraal Oppervlakte voor y =x 2 over willekeurig interim [a,b] Veralgemening voor willekeurige proceed functie Berekeningen met willekeurig punt in een deelinterval (zonder boven en ondersom) Georiënteerde oppervlakten De Mets Armand

Slide 4

Eenvoudige oppervlakten z b l h b h b 1 h b 2 d 1 d 2 r De Mets Armand

Slide 5

Y 10 9 8 7 6 V 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Belang van oppervlakten 1 Gegeven : Wandelaar wandelt 5 uur aan wandelsnelheid 5 km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) Gevraagd : Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? Oplossing: S=v.t = 25 km De Mets Armand

Slide 6

Y 10 9 8 7 v(t) 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Belang van oppervlakten 2 Gegeven : Wandelaar wandelt t uur aan wandelsnelheid v(t) km/h Y (=v , km/h) X (=t , aantal h) Gevraagd : Welke afstand heeft de wandelaar afgelegd aan het einde van de voettocht ? t is hier dus ook 5 uur. Opp = S Oplossing: S= ????? De Mets Armand

Slide 7

Y 10 9 x 8 7 6 5 4 3 2 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Eigenlijke vraagstelling Bepalen van oppervlakte onder de parabool y=x² Geen formule Benadering entryway som van oppervlakten O i van rechthoeken O i = f(x i ). x f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) De Mets Armand

Slide 8

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] Ondersom s 3 Bovensom S 3 van 3 intervallen De Mets Armand

Slide 9

Intermezzo oefening 2 De Mets Armand

Slide 10

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] Berekenen van de ondersom (s 3 ) x 0 = 0 = 0.  x  f ( x 0) = 0 x 1 = 1 = 1.  x  f ( x 1) = 1 x 2 = 2 = 2.  x  f ( x 2) = 4 f ( x 0)   x = 0  1 = 0 f ( x 1)   x = 1  1 = 1 f ( x 2)   x = 4  1 = 4 s 3 = 5 De Mets Armand

Slide 11

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Eerste benadering over [0,3] Berekenen van de bovensom S 3 x 1 = 1 = 1.  x  f ( x 1) = 1 x 2 = 2 = 2.  x  f ( x 2) = 4 x 3 = 3 = 3.  x  f ( x 3) = 9 f ( x 1)   x = 1  1 = 1 f ( x 2)   x = 4  1 = 4 f ( x 3)   x = 9  1 = 9 S 3 = 14 s 3 = 5 De Mets Armand

Slide 12

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Betere benadering over [0,3] Bovensom S 6 Ondersom s 6 Beperken momenteel tot bovensommen De Mets Armand

Slide 13

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Vergelijking van de benaderingen De Mets Armand

Slide 14

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Berekenen van bovensom S 6 [0,3] De totale benaderde S 6 . is nu: f ( x 1 )   x = 0,25  0,5 = 0,125 f ( x 2 )   x = 1  0,5 = 0,5 f ( x 3 )   x = 2,25  0,5 = 1,125 f ( x 4 )   x = 4  0,5 = 2 f ( x 5 )   x = 6,25  0,5 = 3,125 f ( x 6 )   x = 9  0,5 = 4,5 S 3 =14 S 6 = 11,375 S 12 = 10,15625 De Mets Armand

Slide 15

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 Oneindig deelintervallen in [0,3] Hoe groter n , digger beter de benadering. Als n nadert tot + , nadert S n tot de exacte oppervlakte S . Vertalen we deze laatste zin in het 'wiskundigs', dan krijgen we: De Mets Armand

Slide 16

Berekenen S n en s n voor y=x 2 ,[0,3] De Mets Armand

Slide 17

Oneindig deelintervallen in [0,4] Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 X De Mets Armand

Slide 18

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 x=b Notie bepaalde integraal Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S operation het interim [0, b ] te schrijven is als: Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f ( x ) van 0 tot b en noteert dit verkort als: De Mets Armand

Slide 19

Berekenen S n en s n voor y=x 2 ,[0,b] De Mets Armand

Slide 20

Y 10 9 8 7 6 x=b 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 5 x=a Oppervlakte voor y=x 2 over [a,b] Uit de basisformule operation het interim [0, b ], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. Beschouw het interim [ a , b ], waarbij 0 < a < b : S= De Mets Armand

Slide 21

Algemene uitdrukking Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [ a , b ] met a < b < 0 (het interim ligt volledig joins van de y - as) of a < 0 < b (het interim begint joins en eindigt rechts van de y - as). Besluit: De Mets Armand

Slide 22

y=f(x) y=f(x) Y an a x b X Veralgemening voor proceed with f M 1 m 1 M 2 m 2 M 3 m 3 M n m n M n-1 M n-2 m n-1 m n-2 De Mets Armand

Slide 23

y=f(x) Y a x b X Algemene methode Verdeel [a,b] in n gelijke  interim min m i en max M i  integreerbare functies is Via insluitstelling van de limieten: De Mets Armand

Slide 24

Insluitstelling van limieten y=f(x)  M i  f(x i ) m i  Insluitstelling van limieten i-de interim De Mets Armand

Slide 25

Georiënteerde oppervlakken y I III + x a b c d IV e - II - De Mets Armand

SPONSORS

SPONSORS

SPONSORS